9. Скользящее среднее

Временные ряды иногда сглаживают с помощью скользящего среднего. Этот процесс можно рассматривать как одномерную свёртку. Как выглядит ядро такой свёртки? Какой физический смысл стоит за размером такой свёртки и дополнением нулями? Опишите как она работает.

Решение

Разберем скользящее среднее на примере. Пусть у нас есть временной ряд, состоящий из 6 значений: \((x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6)\).

Мы хотим сгладить наши данные окном размера \(k\), то есть применяем одномерную свертку: \((\frac{1}{k}, \frac{1}{k}, \ldots, \frac{1}{k})\). Возьмём \(k = 3\), тогда ядро свёртки примет вид \((\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}).\) Будем считать якорем свёртки центральный элемент.

Применим свёртку к нашему ряду без дополнения нулями, получим

\[ (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{x_2 + x_3 + x_4}{3}, \frac{x_3 + x_4 + x_5}{3}, \frac{x_4 + x_5 + x_6}{3}). \]

Дополнение нулями может помочь нам сохранить концы нашего ряда

\[ (0, x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, 0). \]

Пробуем применить свёртку

\[ (\frac{0 + x_1 + x_2}{3}, \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{x_2 + x_3 + x_4}{3}, \frac{x_3 + x_4 + x_5}{3}, \frac{x_4 + x_5 + x_6}{3}, \frac{x_5 + x_6 + 0}{3}). \]

В общем случае функция для скользящего среднего, записанная в терминах \(1D\) свёртки, будет выглядеть как

def moving_average(x, k):
	return np.convolve(x, np.ones(k), 'valid') / k