7. Матричный лагранжиан#
Найдите симметричную матрицу \(X\) наиболее близкую к матрице \(A\) по норме Фробениуса, \(\sum_{i,j} (x_{ij} - a_{ij})^2\). Тут мы просто из каждого элемента вычитаем каждый и смотрим на сумму квадратов таких разностей. То есть решите задачку условной матричной минимизации
\[\begin{equation*}
\begin{cases}
& ||X - A||^2 \to \min_{A} \\
& X^T = X
\end{cases}
\end{equation*}\]
Подсказка
Надо будет выписать Лагранджиан. А ещё пригодится тот факт, что \(\sum_{i,j} (x_{ij} - a_{ij})^2 = ||X-A||^2 = tr((X-A)^T (X-A))\).
Решение
Выписываем лагранджиан
\[\begin{multline*}
\mathscr{L} = \sum_{i,j} (x_{ij} - a_{ij})^2 + \sum_{ij} \lambda_{ij} (x_{ij} - x_{ji}) = \\ = tr((X-A)^T (X-A)) + tr(\Lambda^T (X - X^T)) = \\ = tr(X^TX) - 2 tr(X^TA) + tr(A^TA) + tr(\Lambda^T (X - X^T))
\end{multline*}\]
Найдём все необходимые нам дифференциалы
\[\begin{equation*}
\begin{aligned}
& d[tr(X^TX)] = tr(d(X^TX)) = tr(X^T dX) + tr(dX^T X) = tr(2 X^T dX) \\
& d[tr(X^TA)] = tr(A^T dX) \\
& d[tr(\Lambda^TX)] = tr(\Lambda^T dX) \\
& d[tr(\Lambda^TX^T)] = tr(\Lambda dX) \\
\end{aligned}
\end{equation*}\]
Выписываем в яном виде производную по \(X\)
\[
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial X} = 2X^T - 2A^T + \Lambda^T - \Lambda = 0
\]
Нужно избавиться от \(\Lambda\), давайте транспонируем уравнение
\[
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial X} = 2X - 2A + \Lambda - \Lambda^T = 0,
\]
а после прибавим его к исходному, тогда лишние части исчезнут
\[
4X - 2A^T - 2A = 0 \qquad X = \frac{1}{2}(A + A^T).
\]